続・数学ガール

完読。
物語性は薄かったが数学読み物としては面白かった。

ある線形空間の要素を線形結合してできたものが常にその空間の要素となる場合、
その線形空間は「完備である」というらしい。
世の中には完備でない線形空間も多い。
たとえば「連続な周期関数全体の集合」。
無限に足し合わせれば矩形波のような不連続な周期関数も作れてしまう。
つまりこの空間は「完備でない」。
しかるに、バーゼル問題の答えを見ると
「有理数全体の集合」も完備でないことになる。
フィボナッチ数列の一般項に無理数が含まれるのもこれに関係していそうだ。
では、この命題は真であろうか？
「実数全体の集合は完備である」
はてさて、簡単に証明を与えることができるのか。
そもそも実数の定義ってなんだっけ？
「自乗して0以上になる数」？
これでは積を定義しないと実数は定義できなくなる。
「無理数と有理数の和集合」？
じゃあ無理数の定義って何？
いかん、ドツボにはまってきた・・・